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向量叉積分配律證明（向量的叉的分配律）

2022-07-23 00:22:58 高端訪談 來源：
導(dǎo)讀 想必現(xiàn)在有很多小伙伴對(duì)于向量的叉的分配律方面的知識(shí)都比較想要了解，那么今天小好小編就為大家收集了一些關(guān)于向量的叉的分配律方面的知

想必現(xiàn)在有很多小伙伴對(duì)于向量的叉的分配律方面的知識(shí)都比較想要了解，那么今天小好小編就為大家收集了一些關(guān)于向量的叉的分配律方面的知識(shí)分享給大家，希望大家會(huì)喜歡哦。

1、三維向量外積（即矢積、叉積）可以用幾何方法證明；也可以借用外積的反對(duì)稱性、內(nèi)積的分配律和混合積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。

2、下面把向量外積定義為：a × b = |a|·|b|·Sin我們假定已經(jīng)知道了：a × b = - b × a內(nèi)積（即數(shù)積、點(diǎn)積）的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c；(a + b)·c = a·c + b·c這由內(nèi)積的定義a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不難得到證明。

3、混合積的性質(zhì)：定義(a×b)·c 為矢量a, b, c的混合積，容易證明：(a×b)·c 的絕對(duì)值正是以a, b, c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負(fù)號(hào)由a, b, c的定向決定（右手系為正，左手系為負(fù)）。

4、從而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)所以我們可以記a, b, c的混合積為(a, b, c).由i 還可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)若一個(gè)矢量a 同時(shí)垂直于三個(gè)不共面矢a1, a2, a3，則a 必為零矢量。

5、設(shè)r 為空間任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替兩次利用和數(shù)積分配律，就有 r·(a×(b + c)= (r×a)·(b + c)= (r×a)·b + (r×a)·c= r·(a×b) + r·(a×c)= r·(a×b + a×c)移項(xiàng)，再利用數(shù)積分配律，得r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0這說明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c) 垂直于任意一個(gè)矢量。

6、按3) 的iv) ，這個(gè)矢量必為零矢量，即：a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0所以有：a×(b + c) = a×b + a×c.證畢。

7、向量積：數(shù)學(xué)中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運(yùn)算。

8、與點(diǎn)積不同，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)向量而不是一個(gè)標(biāo)量。

9、并且兩個(gè)向量的叉積與這兩個(gè)向量和垂直。

10、其應(yīng)用也十分廣泛，通常應(yīng)用于物理學(xué)光學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中。

11、向量積可以被定義為：方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個(gè)向量所在平面垂直，且遵守右手定則。

12、（一個(gè)簡單的確定滿足“右手定則”的結(jié)果向量的方向的方法是這樣的：若坐標(biāo)系是滿足右手定則的，當(dāng)右手的四指從a以不超過180度的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向b時(shí)，豎起的大拇指指向是c的方向。

13、）向量積|c|=|a×b|=|a| |b|sin即c的長度在數(shù)值上等于以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。

14、而c的方向垂直于a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉(zhuǎn)向b來確定。

15、拉格朗日公式，這是一個(gè)著名的公式，而且非常有用：(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),。

本文到此結(jié)束，希望對(duì)大家有所幫助。

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