網站首頁 百科全書 > 正文
圖 2 羅巴切夫斯基
02 羅氏幾何的誕生：
1815年，羅巴切夫斯基開始研究平行線理論，盡管他還是一個23歲的青年，但是已經留校工作，并在第二年升為額外教授。一開始，他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設的證明。
一個證據是，在保存下來的他的學生聽課筆記中， 就記有他在1816~1817學年度幾何教學中給出的幾個證明。但是，很快他便意識到自己的證明是錯誤的。他已經看到，“在概念本身之中并未包含大家想要證明的真情實況”，換句話說，從幾何學的基本的前提和概念并不能推導出第五條公設。那么他怎么肯定這種推導的不可能性呢？或許他曾了解過薩凱里、呂格爾、蘭伯特等人的工作， 并從中受益良多。他肯定了的是，可以循著薩凱里和蘭貝爾特曾經走過前幾步的途徑，繼續(xù)地走下去。
前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設的證明。于是，他便調轉思路，著手尋求第五公設不可證的解答。
羅巴切夫斯基新的嘗試是借助反證法進行的，這很像他的前輩薩凱里、蘭伯特所使用的歸謬法。不過為證“第五公設不可證”，他首先對第五公設加以否定，假設“過平面上直線外一點， 至少可引兩條直線與已知直線不相交”，然后用這個否定命題和其他公理公設組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開邏輯推演。假設第五公設是可證的，即第五公設可由其他公理公設推演出來，那么，在新公理系統(tǒng)的推演過程中一定能出現邏輯矛盾，至少第五公設和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設可證”這一假設，從而也就間接證得“第五公設不可證”。
事實上，在推演過程中，他得到一連串古怪的命題，但是，經過仔細審查，卻沒有發(fā)現它們之間含有任何邏輯矛盾。于是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構成一種新的幾何。它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾里得幾何相媲美，而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設可證性的反駁，也就是對第五公設不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何現實世界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”。
由此，羅巴切夫斯基斷定了第五條公設的不可證明性和根據否定公理展開新幾何學的可能性。當然，這里包含著極為重要的一個普遍結果：在邏輯范疇內，可以存在的并不只是一種幾何學。即是說，邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。
下面講解羅氏幾何的具體內容：
長度與角的關系：
我們不妨先說一下羅氏平行公理。羅氏平行公理是這樣說的：從直線L外一點O，至少可以引和L不相交的兩條直線OL和OM，例如本頁圖4所示那樣，直線OL叫做右平行線，直線OM叫做左平行線。從O向直線L引垂線ON，設ON=P，那么，∠NOL就隨P的變化而變化，把這個角叫作平行角。
其中k是一個常數，為空間常數。
羅巴切夫斯基三角學：
羅氏幾何的三角形性質不同于我們印象中歐式幾何中的三角形。我們認為三角形內角和等于兩個直角。而在羅氏幾何中，三角形的內角和小于兩個直角。更讓人驚奇的是，在羅氏幾何中，不同的三角形一般有不同的內角和。換句話說，只要三角形的內角和不同，它們的形狀就不同。由此可以得出在羅氏幾何中不存在歐式幾何內角和相同，形狀相同的相似三角形。
三角形面積和兩直角與它的內角和的差成正比。如果以S（△）表示三角形的面積，
以α、β、γ分別表示三角形的三個內角，那么
叫做“虧損”?？梢钥吹剑切蝺冉呛蛯?pi;的虧損因它的面積增大而增大。也能看成，不存在面積任意大的三角形。當內角和趨近于0時，三角形的面積無限逼近Kπ。任何三角形面積永遠不會超過Kπ。
在充分小的區(qū)域內，羅氏幾何和歐氏幾何的差異很小。即在極小空間內，羅氏幾何就退化成了歐幾里得幾何。下面以圓周長為例進行具體說明：
圓周長度L不與半徑r成正比，而是更迅速地增長（在指數定律的基礎上），那就是說，下列公式成立：
所以我們從公式（1）得：
，這是歐氏結合中的圓周的公式。
既然常數k越大，與歐幾里得幾何的差異越小，那么在極限情形，當k無限變大時，羅氏幾何就變成了歐幾里得幾何。這就是說，歐幾里得幾何正好是羅氏幾何的極限情形。因而如果在羅巴切夫斯基幾何里添上了這個極限情形，則它也就包括了歐幾里得幾何，在這意義下它就顯得是更普遍的理論。由于這個緣故，羅巴切夫斯基把自己的理論命名為“泛幾何學”，即普遍的幾何學。理論之間的這種關系在數學和自然科學的發(fā)展中經常出現。
04羅氏幾何的直觀模型
從前面所列舉的羅氏幾何中的一些命題可以看到，這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有像歐氏幾何那樣容易被人們接受，這也是羅氏幾何早期歷程如此艱難的重要原因。羅巴切夫斯基自己終其一生都沒能在歐氏幾何的已經用慣的概念體系中建立羅氏幾何的比較簡單的現實意義。但是，后來的數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐氏幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅氏幾何是正確的，即克萊因模型。
克萊因模型非常簡單明了：在普通歐氏平面上取一個圓，并且只考慮圓的內部。它約定圓的內部叫“平面”，圓的弦叫“直線”（將弦的端點除外）。
圖6 愛因斯坦
使數學哲學研究進入了一個嶄新的時期。給康德唯心主義哲學以有力一擊，使數學從傳統(tǒng)的形而上學的束縛下解放出來。也為唯物主義的發(fā)展掃清了一些障礙。
版權說明： 本文由用戶上傳，如有侵權請聯系刪除！
- 上一篇： 新年決定英文翻譯（新年決定的英語作文怎么寫 新年決定的英語作文范例）
- 下一篇： 最后一頁
猜你喜歡：
- 2023-07-22 新年決定英文翻譯（新年決定的英語作文怎么寫 新年決定的英語作文范例）
- 2023-07-22 魔幻的英文怎么說（魔幻的英文名字）
- 2023-07-22 諫太宗十思疏譯文原文及翻譯（諫太宗十思原文及翻譯 諫太宗十思疏原文）
- 2023-07-22 無家別百度百科（無家別原文及翻譯 無家別古詩文網）
- 2023-07-22 祖逖北伐出自哪里（祖逖北伐原文及翻譯 祖逖北伐原文翻譯視頻）
- 2023-07-22 《報劉一丈書》的作者是（報劉一丈書原文及翻譯 報劉一丈書文言文答案）
- 2023-07-22 格力空調f0是什么問題（格力f0 格力空調f0是什么意思）
最新文章：
- 2023-07-22 初等行變換求逆矩陣的技巧（求逆矩陣可以用列變換嗎）
- 2023-07-22 預計今年的中考錄取分數線（今年中考錄取分數線2023 中考錄取分數線查詢）
- 2023-07-22 湖北理工學院專升本考幾門（湖北理工學院專升本考試科目 湖北理工學院專升本考試科目一覽）
- 2023-07-22 希臘字母讀音對照表（峋怎么讀音 怎么讀峋）
- 2023-07-22 我最喜歡的發(fā)明英文作文初二（我最喜歡的發(fā)明英文作文）
- 2023-07-22 友誼的重要性的英語作文（友誼的重要性英語作文范文）
- 2023-07-22 英語講座邀請通知模板（英語講座的邀請函范文 英語講座的邀請函作文模版）
- 2023-07-22 新年決定英文翻譯（新年決定的英語作文怎么寫 新年決定的英語作文范例）
- 2023-07-22 餃子是中國的傳統(tǒng)食物的英文（中國傳統(tǒng)食物餃子的英文作文）
- 2023-07-22 我眼里的春節(jié)作文800字（我眼里的春節(jié)作文英文）
- 2023-07-22 關于奉獻的英文例子（與奉獻有關的英文作文）
- 2023-07-22 我想成為一名籃球運動員的英文作文帶翻譯（我想成為一名籃球運動員的英文作文）
- 2023-07-22 生活中的小驚喜英文作文初中（生活中的小驚喜英文作文）
- 2023-07-22 魔幻的英文怎么說（魔幻的英文名字）
- 2023-07-22 答謝中書書原文及翻譯（留侯世家原文及翻譯 留候世家翻譯）