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1、代數(shù)式:由數(shù)和表示數(shù)的字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方等代數(shù)運(yùn)算所得的式子.例如:ax＋2b,－2／3等.
代數(shù)是研究數(shù)字和文字的代數(shù)運(yùn)算理論和方法,更確切的說(shuō),是研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù),以及以它們?yōu)橄禂?shù)的多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的數(shù)學(xué)分支學(xué)科. 初等代數(shù)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展.在古代,當(dāng)算術(shù)里積累了大量的,關(guān)于各種數(shù)量問(wèn)題的解法后,為了尋求有系統(tǒng)的、更普遍的方法,以解決各種數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題,就產(chǎn)生了以解方程的原理為中心問(wèn)題的初等代數(shù).
代數(shù)是由算術(shù)演變來(lái)的,這是毫無(wú)疑問(wèn)的.至于什么年代產(chǎn)生的代數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科,就很不容易說(shuō)清楚了.比如,如果你認(rèn)為“代數(shù)學(xué)”是指解bx+k=0這類用符號(hào)表示的方程的技巧.那么,這種“代數(shù)學(xué)”是在十六世紀(jì)才發(fā)展起來(lái)的.
如果我們對(duì)代數(shù)符號(hào)不是要求象現(xiàn)在這樣簡(jiǎn)練,那么,代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生可上溯到更早的年代.西方人將公元前三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家刁藩都看作是代數(shù)學(xué)的鼻祖.而在中國(guó),用文字來(lái)表達(dá)的代數(shù)問(wèn)題出現(xiàn)的就更早了.
“代數(shù)”作為一個(gè)數(shù)學(xué)專有名詞、代表一門(mén)數(shù)學(xué)分支在我國(guó)正式使用,最早是在1859年.那年,清代數(shù)學(xué)家里李善蘭和英國(guó)人韋列亞力共同翻譯了英國(guó)人棣么甘所寫(xiě)的一本書(shū),譯本的名稱就叫做《代數(shù)學(xué)》.當(dāng)然,代數(shù)的內(nèi)容和方法,我國(guó)古代早就產(chǎn)生了,比如《九章算術(shù)》中就有方程問(wèn)題.
初等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程,因而長(zhǎng)期以來(lái)都把代數(shù)學(xué)理解成方程的科學(xué),數(shù)學(xué)家們也把主要精力集中在方程的研究上.它的研究方法是高度計(jì)算性的.
要討論方程,首先遇到的一個(gè)問(wèn)題是如何把實(shí)際中的數(shù)量關(guān)系組成代數(shù)式,然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程.所以初等代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容就是代數(shù)式.由于事物中的數(shù)量關(guān)系的不同,大體上初等代數(shù)形成了整式、分式和根式這三大類代數(shù)式.代數(shù)式是數(shù)的化身,因而在代數(shù)中,它們都可以進(jìn)行四則運(yùn)算,服從基本運(yùn)算定律,而且還可以進(jìn)行乘方和開(kāi)方兩種新的運(yùn)算.通常把這六種運(yùn)算叫做代數(shù)運(yùn)算,以區(qū)別于只包含四種運(yùn)算的算術(shù)運(yùn)算.
在初等代數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程中,通過(guò)解方程的研究,也促進(jìn)了數(shù)的概念的進(jìn)一步發(fā)展,將算術(shù)中討論的整數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念擴(kuò)充到有理數(shù)的范圍,使數(shù)包括正負(fù)整數(shù)、正負(fù)分?jǐn)?shù)和零.這是初等代數(shù)的又一重要內(nèi)容,就是數(shù)的概念的擴(kuò)充.
有了有理數(shù),初等代數(shù)能解決的問(wèn)題就大大的擴(kuò)充了.但是,有些方程在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然沒(méi)有解.于是,數(shù)的概念在一次擴(kuò)充到了實(shí)數(shù),進(jìn)而又進(jìn)一步擴(kuò)充到了復(fù)數(shù).
那么到了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是不是仍然有方程沒(méi)有解,還必須把復(fù)數(shù)再進(jìn)行擴(kuò)展呢?數(shù)學(xué)家們說(shuō)：不用了.這就是代數(shù)里的一個(gè)著名的定理—代數(shù)基本定理.這個(gè)定理簡(jiǎn)單地說(shuō)就是n次方程有n個(gè)根.1742年12月15日瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾在一封信中明確地做了陳述,后來(lái)另一個(gè)數(shù)學(xué)家、德國(guó)的高斯在1799年給出了嚴(yán)格的證明.
把上面分析過(guò)的內(nèi)容綜合起來(lái),組成初等代數(shù)的基本內(nèi)容就是：
三種數(shù)——有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)
三種式——整式、分式、根式
中心內(nèi)容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程組.
初等代數(shù)的內(nèi)容大體上相當(dāng)于現(xiàn)代中學(xué)設(shè)置的代數(shù)課程的內(nèi)容,但又不完全相同.比如,嚴(yán)格的說(shuō),數(shù)的概念、排列和組合應(yīng)歸入算術(shù)的內(nèi)容；函數(shù)是分析數(shù)學(xué)的內(nèi)容；不等式的解法有點(diǎn)像解方程的方法,但不等式作為一種估算數(shù)值的方法,本質(zhì)上是屬于分析數(shù)學(xué)的范圍；坐標(biāo)法是研究解析幾何的…….這些都只是歷史上形成的一種編排方法.
初等代數(shù)是算術(shù)的繼續(xù)和推廣,初等代數(shù)研究的對(duì)象是代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求解.代數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)是只進(jìn)行有限次的運(yùn)算.全部初等代數(shù)總起來(lái)有十條規(guī)則.這是學(xué)習(xí)初等代數(shù)需要理解并掌握的要點(diǎn).
這十條規(guī)則是：
五條基本運(yùn)算律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；
兩條等式基本性質(zhì):等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù),等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非零的數(shù),等式不變；
三條指數(shù)律：同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變指數(shù)相加；指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)想乘；積的乘方等于乘方的積.
初等代數(shù)學(xué)進(jìn)一步的向兩個(gè)方面發(fā)展,一方面是研究未知數(shù)更多的一次方程組；另一方面是研究未知數(shù)次數(shù)更高的高次方程.這時(shí)候,代數(shù)學(xué)已由初等代數(shù)向著高等代數(shù)的方向發(fā)展了.
代數(shù)式化簡(jiǎn)：
代數(shù)式化簡(jiǎn)求值是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容.學(xué)生在解題時(shí)如果找不準(zhǔn)解決問(wèn)題的切入點(diǎn)、方法選取不當(dāng),往往事倍功半.如何提高學(xué)習(xí)效率,順利渡過(guò)難關(guān),筆者就這一問(wèn)題,進(jìn)行了歸類總結(jié)并探討其解法,供同學(xué)們參考.
一. 已知條件不化簡(jiǎn),所給代數(shù)式化簡(jiǎn)
二. 已知條件化簡(jiǎn),所給代數(shù)式不化簡(jiǎn)
三. 已知條件和所給代數(shù)式都要化簡(jiǎn)
第3課 整式
知識(shí)點(diǎn)
代數(shù)式、代數(shù)式的值、整式、同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、去括號(hào)與去括號(hào)法則、冪的運(yùn)算法則、整式的加減乘除乘方運(yùn)算法則、乘法公式、正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
大綱要求
了解代數(shù)式的概念,會(huì)列簡(jiǎn)單的代數(shù)式.理解代數(shù)式的值的概念,能正確地求出代數(shù)式的值；
2、 理解整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念,會(huì)把多項(xiàng)式按字母的降冪（或升冪）排列,理解同類項(xiàng)的概念,會(huì)合并同類項(xiàng)；
3、 掌握同底數(shù)冪的乘法和除法、冪的乘方和積的乘方運(yùn)算法則,并能熟練地進(jìn)行數(shù)字指數(shù)冪的運(yùn)算；
4、 能熟練地運(yùn)用乘法公式（平方差公式,完全平方公式及（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab）進(jìn)行運(yùn)算；
5、 掌握整式的加減乘除乘方運(yùn)算,會(huì)進(jìn)行整式的加減乘除乘方的簡(jiǎn)單混合運(yùn)算.
考查重點(diǎn)
1．代數(shù)式的有關(guān)概念．
(1)代數(shù)式：代數(shù)式是由運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子．單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式．
(2)代數(shù)式的值；用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母,計(jì)算后所得的結(jié)果p叫做代數(shù)式的值．
求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡(jiǎn),要先化簡(jiǎn)再求值．
(3)代數(shù)式的分類
2．整式的有關(guān)概念
(1)單項(xiàng)式：只含有數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式．
對(duì)于給出的單項(xiàng)式,要注意分析它的系數(shù)是什么,含有哪些字母,各個(gè)字母的指數(shù)分別是什么.
(2)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和,叫做多項(xiàng)式
對(duì)于給出的多項(xiàng)式,要注意分析它是幾次幾項(xiàng)式,各項(xiàng)是什么,對(duì)各項(xiàng)再像分析單項(xiàng)式那樣來(lái)分析
(3)多項(xiàng)式的降冪排列與升冪排列
把一個(gè)多項(xiàng)式技某一個(gè)字母的指數(shù)從大列小的順序排列起來(lái),叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列
把—個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順斤排列起來(lái),叫做把這個(gè)多項(xiàng)式技這個(gè)字母升冪排列,
給出一個(gè)多項(xiàng)式,要會(huì)根據(jù)要求對(duì)它進(jìn)行降冪排列或升冪排列．
(4)同類項(xiàng)
所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng),叫做同類頃．
要會(huì)判斷給出的項(xiàng)是否同類項(xiàng),知道同類項(xiàng)可以合并．即 其中的X可以代表單項(xiàng)式中的字母部分,代表其他式子.
3．整式的運(yùn)算
(1)整式的加減：幾個(gè)整式相加減,通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái),再用加減號(hào)連接．整式加減的一般步驟是：
(i)如果遇到括號(hào)．按去括號(hào)法則先去括號(hào)：括號(hào)前是“十”號(hào),把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉.括號(hào)里各項(xiàng)都不變符號(hào),括號(hào)前是“一”號(hào),把括號(hào)和它前面的“一”號(hào)去掉．括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)．
(ii)合并同類項(xiàng)： 同類項(xiàng)的系數(shù)相加,所得的結(jié)果作為系數(shù)．字母和字母的指數(shù)不變．
(2)整式的乘除：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘(除),把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘(除),對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式(被除式)里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積(商)的一個(gè)因式相同字母相乘(除)要用到同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

多項(xiàng)式乘(除)以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘(除)以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的積(商)相加．
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加．
遇到特殊形式的多項(xiàng)式乘法,還可以直接算：

(3)整式的乘方
單項(xiàng)式乘方,把系數(shù)乘方,作為結(jié)果的系數(shù),再把乘方的次數(shù)與字母的指數(shù)分別相乘所得的冪作為結(jié)果的因式.。

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